← 返回目录
这一页怎么用：几何应用题的解法高度套路化——
全部源自同一个「微元法」：在 $[x,x+dx]$ 上取一小片，写出它的
面积 / 弧长 / 体积 / 力矩「微元」$dQ$，再积分 $Q=\int dQ$。本页把面积、弧长、旋转体体积、旋转曲面、形心、曲率六类的
微元与公式系统列出，每类配示意图与
必背公式（绿色），并标注最容易错的定限与「绕谁转」问题。
曲线本身的方程见
CH06 常用曲线图形速查。
一微元法：所有公式的同一个根
面积微元 dA = y·dx：把整块拆成无数细条再积分
三步套路：
- 取微元：在 $[x,x+dx]$ 取一小片，近似成规则形状（矩形 / 圆盘 / 圆柱壳）。
- 写 $dQ$：写出这一小片的量 $dQ=(\text{某表达式})\,dx$（或 $d\theta$、$dt$）。
- 积分：$Q=\displaystyle\int_a^b dQ$，下上限 = 微元扫过的范围。
记住一句话："微元 = 用规则形状近似一小片，误差是高阶无穷小"。面积、弧长、体积、力矩，全是换了个 $dQ$ 而已。
最常丢分的不是公式，是上下限：弄错积分区间、漏掉对称性、绕错轴。下面每一类都把这点单独标出来。
二平面图形的面积
1 · 直角坐标
x 型（上减下）：由 $y=f(x)\ge g(x)$ 与 $x=a,x=b$ 围成
$$A=\int_a^b\big[f(x)-g(x)\big]\,dx$$
y 型（右减左）：当曲线写成 $x=\varphi(y)$ 更方便时
$$A=\int_c^d\big[\varphi_2(y)-\varphi_1(y)\big]\,dy$$
怎么选 x 型还是 y 型：哪个方向"切条"时每条的上下边界始终是同两条曲线，就用哪个，能少分段。
2 · 参数方程
曲线 $x=x(t),\,y=y(t)$（$t:\alpha\to\beta$）与 $x$ 轴围成：
$$A=\int_\alpha^\beta y(t)\,x'(t)\,dt$$
方向陷阱：$t$ 的方向要使曲线正向（逆时针）描出边界，否则结果差一个负号——取绝对值或调换上下限。
3 · 极坐标（扇形微元）
微元是顶角 $d\theta$ 的小扇形，$dA=\tfrac12 r^2\,d\theta$：
$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$$
这是 CH06 里心形线 $\tfrac32\pi a^2$、双纽线 $a^2$、玫瑰线每瓣 $\tfrac{\pi a^2}{4n}$ 的来源公式。
定限是极坐标面积的命门：上下限 = 该花瓣/区域对应的 $\theta$ 区间。如双纽线单瓣只能取 $\theta\in[-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4]$（其上 $\cos2\theta\ge0$）。
三弧长 ⭐
核心是弧长微元 $ds$，三种坐标只是 $ds$ 的不同写法（都来自勾股定理 $ds^2=dx^2+dy^2$）：
一句话记牢：$ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$；参数版"换成 $x'^2+y'^2$"，极坐标版"换成 $r^2+r'^2$"。CH06 里星形线 $6a$、一拱摆线 $8a$、心形线 $8a$ 都由此算出。
极坐标 $ds$ 的由来：$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta$ 代入 $dx^2+dy^2$ 展开，交叉项抵消，正好得 $\sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta$。
四旋转体体积 ⭐ 高频
平面图形绕一条轴旋转一周。两套方法，按"切条方向与转轴平行还是垂直"二选一。
1 · 圆盘 / 垫圈法（切条 ⊥ 转轴）
绕 x 轴：垂直切片是圆盘，半径 = y，dV = πy²dx
绕 $x$ 轴（$y=f(x)$ 与 $x$ 轴间，$a\le x\le b$）：垂直切片是圆盘，半径 $y$。
$$V_x=\pi\int_a^b y^2\,dx$$
垫圈（两曲线 $f\ge g\ge0$ 之间绕 $x$ 轴）：外圆减内圆
$$V_x=\pi\int_a^b\big[f^2(x)-g^2(x)\big]\,dx$$
易错：是 $\int(f^2-g^2)$，不是 $\int(f-g)^2$！先各自平方再相减。
2 · 柱壳法（切条 ∥ 转轴）
绕 y 轴：平行切条卷成圆柱壳，dV = 2πx·y·dx
绕 $y$ 轴（$y=f(x)\ge0$，$0\le a\le x\le b$）：竖条卷成圆柱薄壳，周长 $2\pi x$、高 $y$、厚 $dx$。
$$V_y=2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx$$
也可改用 $y$ 型圆盘法 $V_y=\pi\int_c^d\big[\varphi^2(y)\big]\,dy$，二者等价、按方便选。
选法口诀：切条垂直转轴 → 圆盘/垫圈（$\pi\!\int r^2$）；切条平行转轴 → 柱壳（$2\pi\!\int r\,h$）。哪种不用反解函数就用哪种。
3 · 已知平行截面面积
若垂直于 $x$ 轴的截面面积为 $A(x)$（不一定是圆）：
$$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
这是最本质的体积公式，圆盘法只是它在 $A(x)=\pi y^2$ 时的特例。
4 · 绕一般水平/竖直直线
绕 $y=c$ 旋转：半径换成 $|f(x)-c|$，$V=\pi\int_a^b\big[(f-c)^2-(g-c)^2\big]dx$。绕 $x=c$ 同理用柱壳 $2\pi\int|x-c|\,h\,dx$。
五旋转曲面侧面积
曲线绕轴旋转扫出的侧面积。微元是一条"斜带子"，长 $ds$、绕行半径 $r$，$dS=2\pi r\,ds$：
$y=f(x)$ 绕 $x$ 轴（半径 $=y$）：
$$S=2\pi\int_a^b y\,ds=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx$$
绕 $y$ 轴（半径 $=x$）：$S=2\pi\displaystyle\int x\,ds$。
最常见错误：把 $ds$ 写成 $dx$，漏掉 $\sqrt{1+f'^2}$。曲面积分里的弧长因子绝不能省。
对照体积 $V=\pi\!\int y^2 dx$（用 $dx$）与侧面积 $S=2\pi\!\int y\,ds$（用 $ds$）：体积配 $dx$、面积配 $ds$，别混。
六形心 / 质心
均匀薄片的形心 (x̄, ȳ)，配帕普斯定理直接得旋转体积
均匀平面薄片（密度常数，形心 = 质心），区域在 $y=f(x)\ge0$ 与 $[a,b]$ 之间，面积 $A$：
$$\bar x=\frac{1}{A}\int_a^b x\,f(x)\,dx,\qquad \bar y=\frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}f^2(x)\,dx$$
分子是对 $y$ 轴、$x$ 轴的静矩（力矩）$M_y,M_x$，于是 $\bar x=M_y/A,\ \bar y=M_x/A$。
帕普斯（Pappus-Guldinus）两定理 巧解
- 体积：平面区域绕不穿过它的轴旋转，$V=2\pi\,\bar d\cdot A$（$\bar d$ = 形心到轴的距离）。
- 侧面积：平面曲线绕轴旋转，$S=2\pi\,\bar d\cdot L$（$L$ = 弧长，$\bar d$ = 曲线形心到轴距离）。
反向用最香：已知体积/面积反求形心，或已知形心秒算旋转体积。例：半径 $a$ 的圆绕距圆心 $b$（$b>a$）的轴转出的环面 $V=2\pi b\cdot\pi a^2=2\pi^2 a^2 b$。
七曲率与曲率圆 ⭐
P 点的曲率圆（密切圆）：半径 R = 1/κ，圆心在凹侧法线上
曲率 $\kappa$ 刻画曲线弯曲程度 = 切线方向转角对弧长的变化率 $\kappa=\left|\dfrac{d\alpha}{ds}\right|$。
直角坐标 $y=f(x)$：
$$\kappa=\frac{|y''|}{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}$$
参数式 $x(t),y(t)$：
$$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left(x'^2+y'^2\right)^{3/2}}$$
- 曲率半径 $R=\dfrac{1}{\kappa}$（$\kappa\ne0$）。
- 曲率圆（密切圆）：在 $P$ 点凹侧、沿法线方向、半径 $R$ 的圆，与曲线在 $P$ 处相切且曲率相同（三阶密切）。
- 曲率中心：圆心 $(\xi,\eta)$，$\ \xi=x-\dfrac{y'(1+y'^2)}{y''},\ \ \eta=y+\dfrac{1+y'^2}{y''}$。
特例好记：直线 $\kappa=0,\,R=\infty$；半径 $a$ 的圆处处 $\kappa=\dfrac1a,\,R=a$。$y''$ 越大、$y'$ 越小，弯得越狠。
分母是 $3/2$ 次方，不是平方；分子取 $|y''|$（曲率非负）。考场上这两点最易写错。
八公式速查表
骨架就两根：面积/体积配 $dx$，弧长/侧面积配 $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$。认形看 CH06，套限看本章。
九看懂自检
能把下面这些"用自己的话讲清"，这一章就稳了：
- 说得清微元法三步，并能解释"为什么误差是高阶无穷小可以丢"
- 面积题会按"切条边界是否始终同两条曲线"选 x 型 / y 型
- 默写三种 $ds$，知道它们都来自 $ds^2=dx^2+dy^2$
- 绕轴体积会按"切条 ⊥ 还是 ∥ 转轴"选圆盘法 / 柱壳法，且分得清 $\int(f^2-g^2)$ 与 $\int(f-g)^2$
- 记得旋转侧面积是 $2\pi\int y\,ds$（带弧长因子），不是 $2\pi\int y\,dx$
- 会用帕普斯定理由形心秒算旋转体积 / 反求形心
- 默写曲率公式（分母 $3/2$ 次方），知道直线 $\kappa=0$、圆 $\kappa=1/a$，会写曲率半径与曲率圆
✅ 都能讲清后告诉我，下一步可以配一组"几何应用"综合真题（含 CH06 各曲线的弧长/面积/体积/曲率计算）逐题详解。