这一类几乎专为弧长、面积、旋转体体积而生。弧长一律用 $\,ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,dt$，面积用 $\,S=\int y\,dx=\int y(t)x'(t)\,dt$。
直角坐标：$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$
参数方程：$x=a\cos^3 t,\quad y=a\sin^3 t,\quad t\in[0,2\pi]$
图形：四个尖角向内凹的「四角星」，关于两坐标轴和原点都对称；尖点在 $(\pm a,0),(0,\pm a)$。
参数方程：$x=a(t-\sin t),\quad y=a(1-\cos t)$
一拱：$t\in[0,2\pi]$，拱宽 $2\pi a$，拱高 $2a$，顶点 $(\pi a,\,2a)$。
图形：半径 $a$ 的圆沿直线滚动时，圆周上一个定点画出的「一拱拱形」。
参数方程：$x=a(\cos t+t\sin t),\quad y=a(\sin t-t\cos t)$
图形：缠在半径 $a$ 圆筒上的线被拉紧展开时，线端点的轨迹（齿轮齿廓常用）。
极坐标下面积用 $\,S=\dfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$，弧长用 $\,ds=\sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta$。定积分上下限 = 曲线扫过的角度范围，是这一类最容易错的点。
极坐标：$r=a(1+\cos\theta)$（也常见 $1+\sin\theta$、$1-\cos\theta$ 等，仅朝向不同）
直角坐标：$(x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)$
图形：心形，在极点 $(\theta=\pi)$ 处有尖点，关于极轴对称，最远点 $r=2a$。
极坐标：$r^2=a^2\cos 2\theta$（横「8」）或 $r^2=a^2\sin 2\theta$（斜放）
直角坐标：$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$
图形：横放的「$\infty$」字，两瓣关于原点对称。$\cos2\theta\ge0$ 才有定义，故 $\theta\in[-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4]$ 与对称区间各画一瓣。
极坐标：$r=a\cos n\theta$ 或 $r=a\sin n\theta$
花瓣数：$n$ 为奇数 → $n$ 瓣；$n$ 为偶数 → $2n$ 瓣。常考三叶 $r=a\cos3\theta$、四叶 $r=a\sin2\theta$。
阿基米德螺线：$r=a\theta$ —— 相邻两圈间距恒为 $2\pi a$，匀速向外。
对数螺线（等角螺线）：$r=a e^{k\theta}$ —— 切线与极径夹角恒定，自相似。
双曲螺线：$r=\dfrac{a}{\theta}$，以极轴为渐近线。
直角坐标：$x^3+y^3=3axy\ (a>0)$
参数方程：$x=\dfrac{3at}{1+t^3},\quad y=\dfrac{3at^2}{1+t^3}$
图形：关于直线 $y=x$ 对称，第一象限有一个「叶环」，并有一条渐近线 $x+y+a=0$。
方程：$y=a\cosh\dfrac{x}{a}=\dfrac{a}{2}\!\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)$
图形：两端固定的柔软绳子在重力下自然下垂的曲线，最低点 $(0,a)$。注意它不是抛物线。
方程：$y=\dfrac{a^3}{a^2+x^2}$（亦写作 $y=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}$）
图形：关于 $y$ 轴对称的单峰「钟形」，以 $x$ 轴为水平渐近线，峰值在 $(0,a)$。
方程：$y=e^{-x^2}$（正态密度 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ 是其同族）
图形：关于 $y$ 轴对称的钟形，峰值 $(0,1)$，两侧以 $x$ 轴为渐近线。
这些是「地基」，出现时不会再给提示，必须看到方程立刻反应出图形与关键量。
| 名称 | 标准方程 | 关键量 / 备注 |
|---|---|---|
| 椭圆 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 面积 $\pi a b$；参数式 $x=a\cos t,\,y=b\sin t$ |
| 圆 | $x^2+y^2=R^2$ | 面积 $\pi R^2$，周长 $2\pi R$ |
| 双曲线 | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 渐近线 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ |
| 抛物线 | $y^2=2px$ | 顶点原点，焦点 $(\tfrac p2,0)$ |
| 三次曲线 | $y=x^3$ | 原点是拐点，关于原点对称 |
| 半立方抛物线 | $y^2=x^3$（$y=x^{3/2}$） | 尖点在原点，常作弧长例题 |
考前扫一眼这张表即可。$a$ 为曲线尺度参数，旋转体体积默认绕 $x$ 轴。
| 曲线 | 方程 | 弧长 / 周长 | 面积 | 旋转体积（绕 x） |
|---|---|---|---|---|
| 星形线 | $x=a\cos^3t,\,y=a\sin^3t$ | $6a$ | $\frac38\pi a^2$ | $\frac{32}{105}\pi a^3$ |
| 摆线（一拱） | $x=a(t-\sin t),\,y=a(1-\cos t)$ | $8a$ | $3\pi a^2$ | $5\pi^2 a^3$ |
| 心形线 | $r=a(1+\cos\theta)$ | $8a$ | $\frac32\pi a^2$ | — |
| 双纽线 | $r^2=a^2\cos2\theta$ | — | $a^2$（单瓣 $\frac{a^2}{2}$） | — |
| 玫瑰线（每瓣） | $r=a\cos n\theta$ | — | $\frac{\pi a^2}{4n}$ | — |
| 笛卡尔叶形线 | $x^3+y^3=3axy$ | — | 叶环 $\frac32 a^2$ | — |
| 箕舌线 | $y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$ | — | 与渐近线 $\pi a^2$ | — |
| 圆的渐开线 | $x=a(\cos t+t\sin t),\dots$ | $\frac12 a t^2$ | — | — |
| 悬链线 | $y=a\cosh\frac{x}{a}$ | $a\sinh\frac{x}{a}$ | — | — |
| 概率曲线 | $y=e^{-x^2}$ | — | $\int_{-\infty}^{\infty}=\sqrt\pi$ | — |
不用死记图，问自己下面这些能不能立刻反应过来——能，这一面就稳了：