← 返回目录
这一页怎么用：这是为第一遍学习准备的资料——把二次型的来龙去脉、核心方法和推导过程串成一条线，先看懂、不要求背。
每节末尾的 为什么 小块帮你理解"凭什么这样做"。
等你把整章吃透，我们下一步再把它压缩成一张可默写的速查表。文末附上推荐的视频 / 教材 / 习题资源。
一二次型是什么
含 $n$ 个变量、每一项都是二次的多项式，叫 $n$ 元二次型。比如三元的：
$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$$
它没有一次项、没有常数项，只有平方项和交叉项。关键一步是把它写成矩阵形式：
$$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\quad A=A^{\mathsf T}$$
其中 $A$ 是实对称矩阵。规则：平方项 $x_i^2$ 的系数放在对角线 $a_{ii}$；交叉项 $x_ix_j$ 的系数对半分给 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$。上面这个 $f$ 对应：
$$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\[2pt]1&2&2\\[2pt]-1&2&5\end{pmatrix}\quad(\text{如 }x_1x_2\text{ 系数 }2\Rightarrow a_{12}=a_{21}=1)$$
为什么必须对称？ 因为 $x_ix_j=x_jx_i$，交叉项的"功劳"分给 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 两个位置，平分后两者相等，矩阵自然对称。对称化之后，二次型和实对称矩阵就一一对应——研究二次型 = 研究实对称矩阵。
二次型的秩定义为 $r(f)=r(A)$。一上来先会"二次型 ↔ 对称矩阵"互相翻译，是整章的地基。
二为什么要"化简"成标准形
交叉项很碍事——有了它，你看不出这个二次型"长什么样"。几何上，平面二次曲线
$$ax^2+bxy+cy^2=1$$
里的交叉项 $bxy$ 表示曲线的对称轴没有对准坐标轴（图形被"拧歪"了）。只要换一组合适的坐标（相当于旋转坐标系），交叉项就能消掉，方程变回我们熟悉的椭圆 / 双曲线标准方程。这就是"化简"的全部动机。
两个目标形态
| 名称 | 形态 | 说明 |
|---|
| 标准形 | $d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2$ | 只剩平方项，没有交叉项；系数 $d_i$ 任意 |
| 规范形 | $z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$ | 再把系数缩放成只有 $+1,-1,0$ |
整章的核心任务就一句话：用一个可逆的线性变量代换，把 $f$ 变成标准形 / 规范形，然后从中读出它的性质（尤其是"正定性"）。
三合同变换：化简用的工具
"换一组坐标"在代数上就是做一个可逆线性变换 $\mathbf{x}=C\mathbf{y}$（$C$ 可逆）。代进去：
$$f=\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}=(C\mathbf{y})^{\mathsf T}A(C\mathbf{y})=\mathbf{y}^{\mathsf T}\underbrace{(C^{\mathsf T}AC)}_{\text{新矩阵 }B}\mathbf{y}$$
所以变换之后，新二次型的矩阵是 $B=C^{\mathsf T}AC$。我们把这种关系叫合同：
$$\text{存在可逆 }C\text{ 使 }B=C^{\mathsf T}AC\ \Longrightarrow\ A\text{ 与 }B\text{ 合同（congruent）}$$
"化二次型为标准形"，本质就是找一个可逆 $C$，把对称矩阵 $A$ 合同变换成对角矩阵。
合同 vs 相似 vs 等价（别混）
| 关系 | 形式 | 保持不变的量 |
|---|
| 等价 | $PAQ$（$P,Q$ 可逆） | 只保秩 |
| 相似 | $P^{-1}AP$ | 特征值、行列式、迹、秩 |
| 合同 | $C^{\mathsf T}AC$ | 对称性、秩、正负惯性指数 |
一个关键巧合： 当 $C$ 取正交矩阵 $Q$（满足 $Q^{\mathsf T}=Q^{-1}$）时，$C^{\mathsf T}AC=Q^{-1}AQ$ —— 这同时是合同又是相似。这正是下一节"正交变换法"的理论根基：它算出来的标准形系数，恰好就是 $A$ 的特征值。
四化标准形的三种方法（含过程）
方法 1 · 正交变换法 ⭐ 考研最常考
实对称矩阵一定能被正交矩阵对角化。步骤：
- 写出对称矩阵 $A$；
- 解特征方程 $|A-\lambda E|=0$，求出全部特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$；
- 对每个 $\lambda_i$ 解 $(A-\lambda_i E)\mathbf{x}=\mathbf 0$，求特征向量；
- 同一特征值的向量做施密特正交化，所有向量再单位化（不同特征值的特征向量天然正交）；
- 把单位正交向量拼成正交矩阵 $Q$，令 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，即得标准形。
$$Q^{\mathsf T}AQ=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}\ \Longrightarrow\ f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$$
它的好处： $Q$ 正交 = 只是旋转 / 反射，不改变长度和夹角，所以保留了图形的几何形状（求二次曲面形状必须用它）。标准形系数 = 特征值，符号一眼可读。
方法 2 · 配方法（拉格朗日）
不停地用完全平方公式，一个变量一个变量地把交叉项"吸收"掉。拿第一节的 $f$ 走一遍：
$$f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$$
① 先把所有含 $x_1$ 的项凑成一个平方：
$$x_1^2+2x_1(x_2-x_3)=(x_1+x_2-x_3)^2-(x_2-x_3)^2$$
代回并合并剩下的项：
$$f=(x_1+x_2-x_3)^2+\big[\,x_2^2+6x_2x_3+4x_3^2\,\big]$$
② 再对含 $x_2$ 的项配方：$x_2^2+6x_2x_3=(x_2+3x_3)^2-9x_3^2$，于是
$$f=(x_1+x_2-x_3)^2+(x_2+3x_3)^2-5x_3^2$$
令 $y_1=x_1+x_2-x_3,\ y_2=x_2+3x_3,\ y_3=x_3$，标准形为 $f=y_1^2+y_2^2-5y_3^2$（两正一负）。
⚠️ 遇到没有平方项、只有交叉项（如 $f=x_1x_2$）：先令 $x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2$，则 $x_1x_2=y_1^2-y_2^2$，"造"出平方项后再继续配方。
注意： 配方法和正交法得到的系数通常不一样（这里是 $1,1,-5$，正交法会是三个特征值），但"几个正、几个负"永远相同——这正是下一节惯性定理保证的。配方法不需要算特征值，手算更快，但丢掉了几何意义。
方法 3 · 初等变换法（合同变换）
把 $A$ 和单位阵 $E$ 上下叠放成 $\binom{A}{E}$，对 $A$ 每做一次行变换、就做一次相同的列变换（成对进行，保持对称），同时对下方的 $E$ 只做那次列变换。当上方 $A$ 被化成对角阵时，下方就得到了变换矩阵 $C$，满足 $C^{\mathsf T}AC=\text{对角阵}$。
为什么成对做？ 合同变换是 $C^{\mathsf T}AC$，$C$ 由一串初等矩阵相乘而成，左乘 $C^{\mathsf T}$ 对应行变换、右乘 $C$ 对应列变换，二者必须"对称地"同时施加，才等价于一次合同变换。
五惯性定理：化简的"守恒律"
定理： 一个二次型不管用什么可逆线性变换化成标准形，其中正平方项的个数 $p$ 和负平方项的个数 $q$ 都是固定的，与所用的变换无关。
- $p$ = 正惯性指数，$q$ = 负惯性指数；
- $p+q=r(A)$（秩 = 非零平方项总数）；
- 所以规范形唯一：$z_1^2+\cdots+z_p^2-\cdots-z_{p+q}^2$ 是这个二次型的"指纹"。
$$\boxed{\ \text{两个实对称矩阵合同}\iff\text{秩相同 且 正惯性指数相同}\ }$$
直观理解： 第四节里配方法得到 $1,1,-5$（两正一负），用正交法算特征值符号也一定是两正一负——系数大小可以变，正负号的个数是不变量。这就是为什么 $p,q$ 能用来判断两个二次型本质上"是不是同一类"。
六正定二次型（全章重点）
定义： 若对任意 $\mathbf{x}\neq\mathbf 0$ 都有 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}>0$，则称 $f$ 正定，$A$ 为正定矩阵。
五个等价判定（$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵）
| 判据 | 内容 | 常用于 |
|---|
| ① 惯性指数 | 正惯性指数 $p=n$（标准形系数全正） | 给了标准形时 |
| ② 特征值 | $A$ 的全部特征值 $\lambda_i>0$ | 能算特征值时 |
| ③ 顺序主子式 | 各阶顺序主子式 $D_1,D_2,\dots,D_n$ 全 $>0$ | 手算 / 含参数，最常用 |
| ④ 合同分解 | 存在可逆 $C$ 使 $A=C^{\mathsf T}C$（与 $E$ 合同） | 理论证明 |
| ⑤ 标准形 | 标准形系数全部为正 | 配方之后 |
为什么 ② 成立？ 正交变换后 $f=\sum\lambda_iy_i^2$，若所有 $\lambda_i>0$，则任意非零向量代入都 $>0$。
为什么 ④ 成立？ 若 $A=C^{\mathsf T}C$，则 $\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}=(C\mathbf{x})^{\mathsf T}(C\mathbf{x})=\lVert C\mathbf{x}\rVert^2$；$C$ 可逆且 $\mathbf{x}\neq\mathbf 0\Rightarrow C\mathbf{x}\neq\mathbf 0$，故 $>0$。
顺序主子式判别（走一遍）
仍用 $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}$：
$$D_1=1>0,\quad D_2=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1>0,\quad D_3=\det A=-3<0$$
$D_3<0$，不正定。这与第四节配方得到的 $y_1^2+y_2^2-5y_3^2$（有一个负项）完全吻合——两条路通向同一结论。
其他类型（一并记住）
| 类型 | 定义 | 判据 |
|---|
| 负定 | 恒 $<0$ | $-A$ 正定；顺序主子式负正相间（奇负偶正）；特征值全 $<0$ |
| 半正定 | 恒 $\ge 0$ | 特征值全 $\ge 0$；$p=r\le n$；所有主子式$\ge0$ |
| 不定 | 有正有负 | 特征值有正有负；$p,q$ 都 $\ge1$ |
快速排除用必要条件：$A$ 正定 $\Rightarrow$ 主对角元 $a_{ii}>0$ 且 $\det A>0$。任何一个不满足，立刻判非正定。
七整章脉络地图
把上面所有点连成一条线，你就拥有了整章的骨架：
$$\underbrace{f=\mathbf{x}^{\mathsf T}A\mathbf{x}}_{\text{二次型}\leftrightarrow\text{对称矩阵}}\ \xrightarrow{\ \mathbf{x}=C\mathbf{y}\ (\text{合同})\ }\ \underbrace{\text{标准形}}_{\text{3 种方法}}\ \xrightarrow{\ \text{惯性定理}\ }\ \underbrace{\text{规范形}(p,q)}_{\text{唯一}}\ \xrightarrow{\ p=n\ }\ \underbrace{\text{正定}}_{\text{5 个判据}}$$
- 起点：任何二次型都对应唯一的实对称矩阵 $A$，问题转化为研究 $A$。
- 工具：可逆线性代换 = 合同变换 $C^{\mathsf T}AC$，目标是把 $A$ 变对角。
- 方法：正交变换（系数 = 特征值，保几何）/ 配方法（快）/ 初等变换。
- 守恒律：惯性定理说 $p,q$ 不变 → 规范形是二次型的"指纹"。
- 终点：正定 = 规范形全是正项（$p=n$）的特例，有五个等价判据，考试核心。
八推荐资源
按"先建直觉 → 系统学 → 应试"的顺序选用，不必全看。
入门 · 先建立直觉
B 站【宋浩】线性代数 · 第六章「二次型」免费 · 系统
从零讲到正定判定，节奏稳、过程细，最适合第一遍跟着把全章看懂。搜"宋浩 线性代数 二次型"。
3Blue1Brown《线性代数的本质》几何直觉
讲特征值、特征向量、基变换的几何含义。看完会真正理解"正交变换为什么能把拧歪的图形转正"。B 站 / YouTube 均有中文字幕。
MIT 18.06 · Gilbert Strang, Lecture 27《Positive Definite Matrices》英文 · 进阶
把正定矩阵讲到本质（与极小值、能量的联系）。英文但极清晰，行有余力可看。
系统学 · 教材
同济大学《工程数学 · 线性代数》第六章「二次型」基础教材
考研指定基础教材，定义、定理、记号最规范。先把这一章正文 + 例题过一遍。
李永乐《线性代数辅导讲义》· 二次型章考研标杆
二次型是李永乐团队的看家内容，题型归纳和方法总结最全面，配套例题质量高，强烈建议精读。
应试 · 强化与练习
李永乐 线代强化课「二次型」专题视频 · 应试
配合讲义，掌握"正交变换化标准形 / 含参数求正定"两类大题的标准答题步骤与书写格式。
历年考研真题 · 二次型大题真题
线代每年两道大题里常有一道考二次型 / 特征值。看懂理论后，按年份刷近 10～15 年真题里的相关大题，体感最准。
以上为公认口碑较好的通用资源，具体老师 / 版本按你自己的习惯选即可；核心是先用一个系统视频或教材把全章过一遍，再回到本页对照这条主线查漏补缺。
九看懂自检
不用默写公式，只问自己下面这些"能不能用自己的话讲清楚"。能讲明白，这一遍就到位了：
- 能把一个二次型和它的对称矩阵互相写出来（记得交叉项系数要对半分）
- 说得清为什么要化标准形（交叉项 = 图形被拧歪了）
- 分得清合同、相似、等价三者的区别
- 讲得出正交变换法的 5 步，并知道"标准形系数 = 特征值"
- 会用配方法走一道题，包括"没有平方项"的处理技巧
- 说得清惯性定理在保证什么（$p,q$ 不变 → 规范形唯一）
- 背得出正定的定义，并能说出至少 3 个等价判据 + 顺序主子式怎么算
- 能把第七节那张脉络图凭记忆复述一遍
✅ 全部能讲清后告诉我，下一个计划我帮你把这一章压缩成一张可默写的速查表。