积分公式速记表

考研数学二 · 一元不定 / 定积分 / 反常积分
记忆 + 推导 · 不在计算上出错
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用法：分两层记。第一层「基本积分表 + 凑微分」必须形成肌肉记忆，看到就反应；第二层标了 ✍️ 的几个，不要死背，要会现场推（考场上忘了能 30 秒推出来才算真会）。每条公式后默认 $+C$，下文不再重复写。
数二范围已剔除无穷级数、三重积分、曲线曲面积分；本表聚焦一元不定/定积分 + 反常积分。

一基本积分表（必须背到肌肉记忆）

幂函数 / 指对函数

$$\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ (a\neq-1),\qquad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|$$
$$\int e^{x}\,dx=e^{x},\qquad \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}\ (a>0,a\neq1)$$

三角函数（正向 6 条）

$$\int \sin x\,dx=-\cos x,\qquad \int \cos x\,dx=\sin x$$
$$\int \sec^{2}x\,dx=\tan x,\qquad \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x$$
$$\int \sec x\tan x\,dx=\sec x,\qquad \int \csc x\cot x\,dx=-\csc x$$

三角函数（✍️ 需会推的 4 条）

$$\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|,\qquad \int \cot x\,dx=\ln|\sin x|$$
$$\int \sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|,\qquad \int \csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|$$

有理式 → 反三角 / 对数

$$\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$$
$$\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|,\qquad \int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$$

含根号 → 反三角 / 对数（高频）

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right),\qquad \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|$$

两个根号面积型（✍️ 分部一次即得）

$$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}$$
$$\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\pm\frac{a^{2}}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right|$$

二凑微分（第一类换元）常用微分式

凑微分的本质是「把 $g(x)\,dx$ 看成 $d[G(x)]$」。下面这些逆着背最有用：

看到凑成
$dx$$\tfrac{1}{a}\,d(ax+b)$
$x\,dx$$\tfrac12\,d(x^{2})$
$\tfrac{1}{x}\,dx$$d(\ln x)$
$\tfrac{1}{x^{2}}\,dx$$-d\!\left(\tfrac1x\right)$
$\tfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$2\,d(\sqrt{x})$
$e^{x}\,dx$$d(e^{x})$
$\sin x\,dx$$-d(\cos x)$
$\cos x\,dx$$d(\sin x)$
$\sec^{2}x\,dx$$d(\tan x)$
$\tfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$$d(\arcsin x)$
$\tfrac{1}{1+x^{2}}\,dx$$d(\arctan x)$

三✍️ 必会推导清单（考场救命）

1. $\int \tan x\,dx$、$\int \cot x\,dx$

$$\int \tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int\frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln|\cos x|$$

$\cot x$ 同理凑 $d(\sin x)$。

2. $\int \sec x\,dx$（分子分母同乘 $\sec x+\tan x$）

$$\int\sec x\,dx=\int\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\,dx=\int\frac{d(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}=\ln|\sec x+\tan x|$$

$\csc x$ 同法（乘 $\csc x-\cot x$）。

3. $\int \dfrac{dx}{a^{2}-x^{2}}$（裂项）

$$\frac{1}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\!\left(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}\right)\Rightarrow \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|$$

4. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$（凑成整体 $d$）

直接验证 $\big(\ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})\big)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$ 即可；考场用三角代换 $x=a\tan t$ 也能推。

5. $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx$（分部 + 移项）

令 $u=\sqrt{a^{2}-x^{2}},\,dv=dx$，分部后出现原积分，移项解出，得面积型公式。

四三角函数积分套路

$\int \sin^{m}x\cos^{n}x\,dx$

$$\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}$$

积化和差（处理 $\int\sin mx\cos nx$ 等）

$$\sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$$
$$\cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A+B)+\cos(A-B)],\quad \sin A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$$

万能代换（有理三角函数兜底）：令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$，则

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\quad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\quad dx=\frac{2}{1+t^{2}}\,dt$$

五分部积分

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

选 $u$ 的口诀 反对幂指三（反三角 > 对数 > 幂 > 指数 > 三角，排前面的取作 $u$）。

高频结果（建议记住，省时间）：

$$\int \ln x\,dx=x\ln x-x,\qquad \int \arctan x\,dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^{2})$$
$$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}$$
$$\int x e^{x}\,dx=(x-1)e^{x},\qquad \int e^{ax}\sin bx\,dx=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}$$

六换元代换速查（无理函数）

被积含代换化为
$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$x=a\sin t$$a\cos t$
$\sqrt{a^{2}+x^{2}}$$x=a\tan t$$a\sec t$
$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$x=a\sec t$$a\tan t$
$\sqrt[n]{ax+b}$$t=\sqrt[n]{ax+b}$有理式
$\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$令整体 $=t$有理式

七定积分专用公式（数二高频）

1. 奇偶性（对称区间）

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\begin{cases}2\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx, & f\text{ 偶}\\[4pt]0, & f\text{ 奇}\end{cases}$$

2. 华里士（点火）公式 ⭐

$$\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\,dx=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\text{ 偶}\\[8pt]\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot 1, & n\text{ 奇}\end{cases}$$
记忆法：「奇数到底是 $1$，偶数到底乘 $\frac{\pi}{2}$」（偶数才点火 $\frac{\pi}{2}$）。

3. 区间再现公式

$$\int_{0}^{a}f(x)\,dx=\int_{0}^{a}f(a-x)\,dx$$

经典推论：

$$\int_{0}^{\pi}x\,f(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,dx$$

4. 周期函数

$T$ 为周期时，$\displaystyle\int_{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int_{0}^{T}f(x)\,dx$（与起点无关）。

八反常积分（收敛性 + Γ 函数）

$p$ 积分判敛（背结论，比较判别法的标尺）：

$$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}\ \text{收敛}\iff p>1;\qquad \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}\ \text{收敛}\iff p<1$$

Γ 函数 / 常用反常积分值：

$$\int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-x}\,dx=n!,\qquad \int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

九自检清单

做完一轮后，盖住答案默写下面这些，能全部独立写出（或推出）才算过关：

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