函数的间断点 · 体系化梳理

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这一页怎么用：间断点的题型不难，但极易判错类型——尤其是含 $e^{1/x}$、$\arctan\frac1x$、$\frac1x$ 这类「左右行为不对称」的函数。本页按 理论框架 → 分类判别 → 常见易错小零件 → 高频陷阱 四层组织。把第三节那十几个小函数在特殊点的左右极限刻进脑子，这类题基本不丢分。

一理论基础：先讲清楚「连续」

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，必须同时满足三件事：

$f(x_0)$ 有定义；
$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ 存在（即左极限 = 右极限，且为有限值）；
极限值 = 函数值：$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$。

一句话：有定义、有极限、二者相等。三者缺一，$x_0$ 就是间断点。

讨论间断点的前提

$x_0$ 通常是定义域内或定义域边界上的「可疑点」：分母为零、对数真数为零、分段函数的分段点等——在 $x_0$ 的某个去心邻域内 $f$ 有定义，但本身可能没定义或「对不上」。

关键操作只有一个：求 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0^-)$ 与右极限 $f(x_0^+)$，再看函数值。下面一切分类，都从这两个单侧极限来。

二间断点的分类（核心框架）

判别完全取决于左右极限：

          左极限 f(x₀⁻)、右极限 f(x₀⁺) 是否都存在(有限)？
                          │
        ┌─────────────────┴──────────────────┐
   都存在(有限)                  至少一个不存在 / 为 ∞ / 振荡
  【第一类间断点】                      【第二类间断点】
        │                                    │
   ┌────┴────┐                       ┌───────┴───────┐
  左=右      左≠右                有一个 = ∞         振荡无极限
(可去间断点) (跳跃间断点)         (无穷间断点)        (振荡间断点)

第一类间断点（左右极限都存在且有限）

类型	特征	直观图像
可去间断点	$f(x_0^-)=f(x_0^+)$，但 $\ne f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义	一个「空心点」，补一个点就连续
跳跃间断点	$f(x_0^-)\ne f(x_0^+)$（都有限）	「断台阶」，跳跃度 $=f(x_0^+)-f(x_0^-)$

第二类间断点（左右极限至少一个不是有限值）

类型	特征
无穷间断点	某侧极限为 $\infty$（如 $\frac1x$ 在 $0$）
振荡间断点	极限振荡不存在（如 $\sin\frac1x$ 在 $0$）

命名口诀：「可去 / 跳跃」→ 第一类；「无穷 / 振荡」→ 第二类。
判第几类，只看左右极限是否都为有限数；判第一类里哪一种，再比较两者相不相等。

三常见易错「小零件」函数 ⭐ 重点

这部分最爱考。把每个函数在 $x=0$（或特殊点）的左右极限记死。

① $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ — 可去

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，左右都等于 $1$，但 $x=0$ 无定义 → 可去间断点。补定义 $f(0)=1$ 即连续。

同类（在 $0$ 均为可去，极限分别为 $1,1,1,\tfrac12$）：$\dfrac{\tan x}{x},\ \dfrac{\ln(1+x)}{x},\ \dfrac{e^x-1}{x},\ \dfrac{1-\cos x}{x^2}$。

② $\dfrac1x$ 在 $x=0$ — 无穷

$f(0^-)=-\infty,\ f(0^+)=+\infty$ → 无穷间断点（第二类）。

③ $\sin\dfrac1x$ 在 $x=0$ — 振荡

$x\to0$ 时在 $[-1,1]$ 间无限振荡，极限不存在 → 振荡间断点（第二类）。

对比陷阱： $x\sin\dfrac1x$ 在 $0$ 的极限 $=0$（有界 × 无穷小）→ 可去间断点！有没有「压住振荡」的无穷小因子，结论天差地别。

④ $e^{1/x}$ 在 $x=0$ 🔥 高频陷阱

$$x\to0^-:\ \tfrac1x\to-\infty,\ e^{1/x}\to 0;\qquad x\to0^+:\ \tfrac1x\to+\infty,\ e^{1/x}\to +\infty$$

左极限有限（$0$）、右极限为 $\infty$ → 第二类（无穷间断点）。

错点： 看到「左右不等」就写跳跃。但右极限是 $\infty$——只要有一侧是 $\infty$，立刻第二类，与左侧是否有限无关。

⑤ $\arctan\dfrac1x$ 在 $x=0$ — 跳跃

$$x\to0^-:\ \arctan\tfrac1x\to-\tfrac{\pi}{2};\qquad x\to0^+:\ \arctan\tfrac1x\to+\tfrac{\pi}{2}$$

左右都有限但不相等 → 跳跃间断点（第一类），跳跃度 $\pi$。

⑥ $\dfrac{1}{1+e^{1/x}}$ 在 $x=0$ — 跳跃

$$x\to0^-:\ e^{1/x}\to0\Rightarrow\frac{1}{1+0}=1;\qquad x\to0^+:\ e^{1/x}\to+\infty\Rightarrow 0$$

左右有限不等 → 跳跃间断点（第一类）。

⑦ $\dfrac{|x|}{x}=\operatorname{sgn}x$ 在 $x=0$ — 跳跃

$f(0^-)=-1,\ f(0^+)=1$ → 跳跃间断点。

⑧ 取整函数 $[x]$ 在每个整数点 — 跳跃

在整数 $n$：$f(n^-)=n-1,\ f(n^+)=n$ → 跳跃间断点。衍生：小数部分 $x-[x]$ 在整数点也是跳跃。

⑨ $\dfrac1{x^2}$、$\dfrac{1}{\ln x}$ 等 — 无穷

$\dfrac1{x^2}$ 在 $0$：两侧都 $\to+\infty$ → 无穷间断点。$\dfrac{1}{\ln x}$ 在 $x=1$：$\ln1=0$，两侧 $\to\infty$ → 无穷间断点。

⑩ 有理分式 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ — 看约分

令 $Q(x)=0$ 求可疑点：

该点也使 $P(x)=0$ 且约分后极限有限 → 可去间断点；
约分后分母仍为 $0$（极限 $\infty$）→ 无穷间断点。

例：$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ → 极限 $2$，可去；$\dfrac{x+1}{x-1}$ 在 $x=1$ → $\infty$，无穷。

同一函数不同点可不同类！ $\dfrac{x}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$：$x=0$ 可去，$x=1$ 无穷。

四高频考点与典型陷阱

陷阱 1 · 约分要「留痕」

$\dfrac{x^2-x}{x^2-1}=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}$：$x=1$ 约分后极限 $\tfrac12$（可去）；$x=-1$ 极限 $\infty$（无穷）。

别一约分就忘了被约掉的点 $x=1$ 也是间断点。

陷阱 2 · 分段函数的「分段点」

分段点处必须分别算左右极限 + 看该点函数值。例：

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x}, & x\ne 0\\[6pt] a, & x=0\end{cases}$$

极限 $=1$。若 $a=1$ → 连续；若 $a\ne1$ → 可去间断点。

命题常反过来：问「$a$ 取何值时连续」→ 令 $f(0^-)=f(0^+)=f(0)$ 解 $a$。

陷阱 3 · 含 $e^{1/x}$、$\arctan\frac1x$、$\frac1x$ 的复合点

凡是分母里出现 $x\to0$ 让指数 / 角度趋于 $\pm\infty$ 的，必须分左右讨论——因为 $0^-$ 与 $0^+$ 行为完全不同（见 ④⑤⑥）。这是单侧极限不对称的根源，最容易判错类别。

陷阱 4 · 「有定义」≠ 连续，「无定义」≠ 第二类

间断点可以有函数值（跳跃、可去都可能有定义）；
无定义点也可能是可去（如 $\frac{\sin x}{x}$）。

分类只认左右极限，不认「有没有定义」。

陷阱 5 · 「可去」⊂「第一类」

可去是第一类的一种，别把「可去」和「第一类」并列起来。

陷阱 6 · 振荡 vs 无穷小 × 有界

$\sin\frac1x$ → 振荡（第二类）；$x\sin\frac1x$ → 极限 $0$（可去，第一类）。关键看前面有没有「压住振荡」的无穷小因子。

五解题标准流程（套路化）

找可疑点：分母 $=0$、对数真数 $=0$、分段点、$\frac1x/e^{1/x}$ 等内部趋于 $\infty$ 的点。
算左右极限 $f(x_0^-),\ f(x_0^+)$。
分类：都有限 → 第一类（相等 = 可去，不等 = 跳跃）；有一侧 $\infty$ → 无穷间断点；振荡 → 振荡间断点。
若问连续性 / 求参数 → 用「三相等」$f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)$ 列方程解。

六速查表

函数	可疑点	左极限	右极限	类型
$\frac{\sin x}{x}$	$0$	$1$	$1$	可去
$x\sin\frac1x$	$0$	$0$	$0$	可去
$\frac1x$	$0$	$-\infty$	$+\infty$	无穷
$\frac1{x^2}$	$0$	$+\infty$	$+\infty$	无穷
$\sin\frac1x$	$0$	振荡	振荡	振荡
$e^{1/x}$	$0$	$0$	$+\infty$	无穷(二类)
$\arctan\frac1x$	$0$	$-\frac\pi2$	$+\frac\pi2$	跳跃
$\frac{1}{1+e^{1/x}}$	$0$	$1$	$0$	跳跃
$\frac{\|x\|}{x}$	$0$	$-1$	$1$	跳跃
$[x]$	整数 $n$	$n-1$	$n$	跳跃
$\frac{x^2-1}{x-1}$	$1$	$2$	$2$	可去
$\frac{x+1}{x-1}$	$1$	$-\infty$	$+\infty$	无穷

七看懂自检

不用死背，只问自己下面这些能不能「用自己的话讲清楚」。能讲明白，这一面就稳了：

背得出连续的三个条件，知道间断点 = 三者缺一
讲得清「判第几类只看左右极限是否都有限」「第一类里再比相不相等」
分得清可去 / 跳跃 / 无穷 / 振荡四种，并能各举一个函数
立刻说出 $e^{1/x}$ 在 $0$ 是第二类（右极限 $\infty$），不是跳跃
说得清 $\sin\frac1x$（振荡）与 $x\sin\frac1x$（可去）为何不同
知道 $\arctan\frac1x$、$\frac{1}{1+e^{1/x}}$ 在 $0$ 都是跳跃，左右极限各是多少
会处理有理分式约分后「被约掉的点」也要判类型
会用「三相等」解分段函数里的待定参数 $a$

✅ 全部能讲清后告诉我，下一步可以把这一面拓展成「极限与连续」整章，或配一组针对性练习（含详解）。